Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe é sobre determinar se uma equação diferencial é exata e, se for, encontrar sua solução implícita. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como encontrar uma solução para ela caso seja.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial. A equação que temos é:
Podemos reescrever isso como:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Mas para verificar se a equação é exata, vamos trazê-la para a forma diferencial . Multiplicando ambos os lados por , temos:
Então, identificamos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, verificar se:
Calculando essas derivadas:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para encontrar , usamos a condição:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando:
Integrando :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
A solução implícita da equação diferencial é quando é constante:

Resposta

A equação é exata e sua solução implícita é , onde é uma constante.

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Mostre que a equação não é separável, mas se fizermos a mudança de variável , a nova equação, nas variáveis e , é separável. Encontre as soluções da equação original.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações. .