Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe é sobre determinar se uma equação diferencial é exata e, se for, encontrar sua solução implícita. Isso está dentro do estudo de equações diferenciais, especificamente sobre equações exatas. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como encontrar uma solução para ela caso seja.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para deixá-la na forma padrão de uma equação diferencial. A equação que temos é:
Podemos reescrever isso como:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Mas para verificar se a equação é exata, vamos trazê-la para a forma diferencial
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Então, identificamos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, verificar se:
Calculando essas derivadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a condição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando:
Integrando
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
A solução implícita da equação diferencial é quando
é constante:
Resposta
A equação é exata e sua solução implícita é
, onde
é uma constante.
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não é separável, mas se fizermos a mudança de variável
, a nova equação, nas variáveis
e
, é separável. Encontre as soluções da equação original.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
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Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
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Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
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