Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial e determinar as regiões no plano onde as condições do Teorema de Existência e Unicidade são atendidas. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente sobre condições para garantir que uma solução exista e seja única.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação dada é:
Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis, onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados por e por para separar as variáveis:
Agora, temos em um lado e no outro, prontos para integrar.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
No lado esquerdo, a integral de é simples:
Já do lado direito, fazemos uma substituição para facilitar. Deixe , então , ou seja, . Substituindo:

Passo 5

Igualando as integrais:
Onde é a constante de integração. Podemos multiplicar tudo por 6 para simplificar:
Onde . Para simplificar, podemos escrever:
Onde .

Passo 6

Agora, para isolar , tomamos a raiz quadrada:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 7

Agora, vamos determinar as regiões onde o Teorema de Existência e Unicidade se aplica. Esse teorema garante que, se e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas em uma região que contém o ponto inicial , então existe uma solução única nessa região.
No nosso caso:
Para que seja contínua, o denominador não pode ser zero. Então:
Além disso, a derivada parcial é:
Também é contínua nessas condições.

Passo 8

Portanto, as regiões no plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são todas as regiões onde:
Isso significa que, exceto nas linhas onde e , podemos garantir a existência e unicidade da solução da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
E as regiões no plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são todas as áreas onde e .

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