Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
e determinar as regiões no plano
onde as condições do Teorema de Existência e Unicidade são atendidas. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente sobre condições para garantir que uma solução exista e seja única.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação dada é:
Essa é uma equação diferencial de separação de variáveis, onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados por
e por
para separar as variáveis:
Agora, temos
em um lado e
no outro, prontos para integrar.
Passo 4
Integrando ambos os lados:
No lado esquerdo, a integral de
é simples:
Já do lado direito, fazemos uma substituição para facilitar. Deixe
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Passo 5
Igualando as integrais:
Onde
é a constante de integração. Podemos multiplicar tudo por 6 para simplificar:
Onde
. Para simplificar, podemos escrever:
Onde
.
Passo 6
Agora, para isolar
, tomamos a raiz quadrada:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 7
Agora, vamos determinar as regiões onde o Teorema de Existência e Unicidade se aplica. Esse teorema garante que, se
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas em uma região que contém o ponto inicial
, então existe uma solução única nessa região.
No nosso caso:
Para que
seja contínua, o denominador
não pode ser zero. Então:
Além disso, a derivada parcial
é:
Também é contínua nessas condições.
Passo 8
Portanto, as regiões no plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são todas as regiões onde:
Isso significa que, exceto nas linhas onde
e
, podemos garantir a existência e unicidade da solução da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E as regiões no plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são todas as áreas onde
e
.
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, onde
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e
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;
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.
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e
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