Mostre que a equação não é separável, mas se fizermos a mudança de variável , a nova equação, nas variáveis e , é separável. Encontre as soluções da equação original.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial . Primeiro, vamos ver que ela não é separável diretamente. Então, vamos usar uma mudança de variável para simplificar a equação e torná-la separável. Isso vai nos ajudar a encontrar as soluções da equação original.
Passo 2
Começamos definindo a nova variável . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :
Onde é a derivada de em relação a .
Passo 3
Substituímos e na equação original:
Podemos simplificar a fração no lado direito dividindo o numerador e o denominador por :
Passo 4
Isolamos para facilitar a separação das variáveis:
Passo 5
Agora, rearranjamos a equação para separar e :
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Vamos simplificar a fração à esquerda usando frações parciais:
Então, a integral fica:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde . Podemos reescrever isso como:
Onde é uma constante qualquer.
Passo 8
Resolvendo para :
Simplificando o sinal:
Passo 9
Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :