Mostre que a equação não é separável, mas se fizermos a mudança de variável , a nova equação, nas variáveis e , é separável. Encontre as soluções da equação original.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Primeiro, vamos ver que ela não é separável diretamente. Então, vamos usar uma mudança de variável para simplificar a equação e torná-la separável. Isso vai nos ajudar a encontrar as soluções da equação original.

Passo 2

Começamos definindo a nova variável . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 3

Substituímos e na equação original:
Podemos simplificar a fração no lado direito dividindo o numerador e o denominador por :

Passo 4

Isolamos para facilitar a separação das variáveis:

Passo 5

Agora, rearranjamos a equação para separar e :

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Vamos simplificar a fração à esquerda usando frações parciais:
Então, a integral fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde . Podemos reescrever isso como:
Onde é uma constante qualquer.

Passo 8

Resolvendo para :
Simplificando o sinal:

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

As soluções da equação original são:
Onde é uma constante arbitrária.

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