Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
, onde
é uma função contínua em toda reta;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Existência e Unicidade Local para ver se a equação diferencial
com a condição inicial
tem uma solução única em torno de
. A matéria aqui é sobre equações diferenciais e, mais especificamente, sobre como garantir que uma solução existe e é única em um intervalo próximo ao ponto inicial. Vamos precisar verificar se as condições do teorema são atendidas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que fique explícita para
:
Aqui, identificamos que a função que define a equação é:
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade Local, precisamos que
seja contínua e que sua derivada parcial em relação a
também seja contínua no entorno do ponto inicial.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade de
. Sabemos que
é uma função contínua em toda a reta, e
é a multiplicação de duas funções contínuas (já que
e
são variáveis contínuas). Portanto,
é contínua em todo ponto.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada também é contínua porque
é sempre contínuo.
Passo 5
Como tanto
quanto
são contínuas no entorno de
e
, o Teorema de Existência e Unicidade Local garante que existe uma solução única para a equação diferencial no entorno desse ponto inicial.
Resposta
Sim, o problema possui uma solução única localmente ao redor de
.
Exercícios relacionados
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
;
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.