Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local) , onde é uma função contínua em toda reta;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Existência e Unicidade Local para ver se a equação diferencial com a condição inicial tem uma solução única em torno de . A matéria aqui é sobre equações diferenciais e, mais especificamente, sobre como garantir que uma solução existe e é única em um intervalo próximo ao ponto inicial. Vamos precisar verificar se as condições do teorema são atendidas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que fique explícita para :
Aqui, identificamos que a função que define a equação é:
Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade Local, precisamos que seja contínua e que sua derivada parcial em relação a também seja contínua no entorno do ponto inicial.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade de . Sabemos que é uma função contínua em toda a reta, e é a multiplicação de duas funções contínuas (já que e são variáveis contínuas). Portanto, é contínua em todo ponto.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada também é contínua porque é sempre contínuo.

Passo 5

Como tanto quanto são contínuas no entorno de e , o Teorema de Existência e Unicidade Local garante que existe uma solução única para a equação diferencial no entorno desse ponto inicial.

Resposta

Sim, o problema possui uma solução única localmente ao redor de .

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Encontre soluções para os problemas de valor inicial e , para ;
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo: .
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .