Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). (2 t y^2 + 2 y) - (2 t^3 y + 2 t) y' = 0.

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa equação dada: . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução implícita dela. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e comparar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão das equações exatas, que é . Observando a equação original, temos:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais. Vamos lá:

Passo 4

Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que . Como essas derivadas não são iguais, a equação não é exata.

Resposta

A equação não é exata.

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