Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa equação dada:
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução implícita dela. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e comparar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão das equações exatas, que é
. Observando a equação original, temos:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais. Vamos lá:
Passo 4
Comparando as duas derivadas parciais:
Vemos que
. Como essas derivadas não são iguais, a equação não é exata.
Resposta
A equação não é exata.
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Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
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Mostre que a equação
não é separável, mas se fizermos a mudança de variável
, a nova equação, nas variáveis
e
, é separável. Encontre as soluções da equação original.
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.
Determine a solução geral da equação
.