Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por . O objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o conceito de equações homogêneas e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais.
Passo 2
Verificando se a equação é homogênea
Uma equação diferencial da forma é chamada de homogênea se a função pode ser escrita como uma função de . Ou seja, .
Vamos verificar isso para a nossa equação:
Vamos substituir por e por para verificar se a função mantém a mesma forma:
Como a função permanece a mesma após a substituição, a equação é homogênea.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial homogênea
Para resolver uma equação diferencial homogênea, fazemos a substituição . Isso implica que . Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:
Agora, isolamos :
Podemos simplificar:
Agora, separamos as variáveis e :
Passo 4
Integrando ambos os lados
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a fração no lado esquerdo:
Podemos decompor essa fração em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos:
Portanto:
Agora, integramos:
Passo 5
Expressando a solução geral
Reorganizando os termos, temos:
Substituindo :
Simplificando, obtemos a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A equação diferencial é homogênea e a sua solução geral é dada implicitamente por: