Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por . O objetivo é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o conceito de equações homogêneas e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais.

Passo 2

Verificando se a equação é homogênea
Uma equação diferencial da forma é chamada de homogênea se a função pode ser escrita como uma função de . Ou seja, .
Vamos verificar isso para a nossa equação:
Vamos substituir por e por para verificar se a função mantém a mesma forma:
Como a função permanece a mesma após a substituição, a equação é homogênea.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial homogênea
Para resolver uma equação diferencial homogênea, fazemos a substituição . Isso implica que . Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo e na equação original:
Agora, isolamos :
Podemos simplificar:
Agora, separamos as variáveis e :

Passo 4

Integrando ambos os lados
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a fração no lado esquerdo:
Podemos decompor essa fração em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos:
Portanto:
Agora, integramos:

Passo 5

Expressando a solução geral
Reorganizando os termos, temos:
Substituindo :
Simplificando, obtemos a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A equação diferencial é homogênea e a sua solução geral é dada implicitamente por:
onde é a constante de integração.

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Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .
Determine a solução geral da equação .
Verifique que toda solução da EDO
satisfaz a equação , onde é uma constante positiva. Observando-se que a última equação é a equação de uma elipse no plano , interprete este exercício geométricamente.