Determine a solução geral da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que envolve encontrar uma função que facilita a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que permite escrever o lado esquerdo como a derivada de
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos uma substituição:
Seja
, então
, ou seja,
.
Então,
Passo 6
Agora, igualamos as integrais:
Para resolver
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações.
.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Verifique que toda solução da EDO
satisfaz a equação
, onde
é uma constante positiva. Observando-se que a última equação é a equação de uma elipse no plano
, interprete este exercício geométricamente.
Encontre o valor de
que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de
encontrado.