Determine a solução geral da equação y'(t) + 2 * t * y(t) = t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que envolve encontrar uma função que facilita a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que permite escrever o lado esquerdo como a derivada de .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Então,

Passo 6

Agora, igualamos as integrais:
Para resolver , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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