Determine a solução geral da equação .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que envolve encontrar uma função que facilita a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares de primeira ordem, que é:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que permite escrever o lado esquerdo como a derivada de .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Então,

Passo 6

Agora, igualamos as integrais:
Para resolver , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Verifique se as equações abaixo são homogêneas. Em caso afirmativo, resolva as respectivas equações. .
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente). .
Verifique que toda solução da EDO
satisfaz a equação , onde é uma constante positiva. Observando-se que a última equação é a equação de uma elipse no plano , interprete este exercício geométricamente.
Encontre o valor de que torne cada uma das seguintes equações exatas e então resolva-as, usando o valor de encontrado.