Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
(e^t sen(y) + 3y) dt - (3t - e^t sen(t) y) dy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela de forma implícita. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação exata e como identificar isso. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o entendimento:
Podemos identificar as funções e da seguinte forma:

Passo 3

Para saber se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos calcular:

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Calculando :
Para derivar, usamos a regra do produto para :
Simplificando:

Passo 6

Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Claramente, , já que os termos não são iguais.

Passo 7

Como as derivadas parciais não são iguais, concluímos que a equação dada não é exata. Portanto, não precisamos encontrar a solução dela.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata.

Exercícios relacionados