Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela de forma implícita. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação exata e como identificar isso. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o entendimento:
Podemos identificar as funções
e
da seguinte forma:
Passo 3
Para saber se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos calcular:
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Para derivar, usamos a regra do produto para :
Simplificando:
Passo 6
Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Claramente,
, já que os termos não são iguais.
Passo 7
Como as derivadas parciais não são iguais, concluímos que a equação dada não é exata. Portanto, não precisamos encontrar a solução dela.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata.