Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(a) 2 x + y^2 + 2 x y y' = 0

Passo 1

Estamos analisando a equação diferencial . Nosso objetivo é verificar se essa equação é separável. Uma equação diferencial é chamada de separável quando podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação, permitindo integrar ambos os lados de forma independente. Para resolver isso, vamos manipular a equação para isolar e verificar se conseguimos separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar o termo que contém :
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Simplificando a fração no lado direito:
Então, temos:

Passo 4

Podemos reescrever a equação para tentar separar as variáveis e :
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Agora, movendo todos os termos para o lado esquerdo:

Passo 5

Observando a equação, percebemos que ainda não está separável de forma direta. Contudo, podemos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir . Assim, temos:
Rearranjando para :

Passo 6

Substituindo na equação original:
Simplificando:
Substituindo :

Passo 7

Rearranjando os termos para isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
Para resolver, encontramos o fator integrante :
Multiplicando a equação por :
Isso permite escrever:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Resolvendo para :
Lembrando que :

Resposta

A equação é separável e sua solução geral é:
Onde é uma constante arbitrária.

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