Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(a)
(a)
Passo 1
Estamos analisando a equação diferencial
. Nosso objetivo é verificar se essa equação é separável. Uma equação diferencial é chamada de separável quando podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação, permitindo integrar ambos os lados de forma independente. Para resolver isso, vamos manipular a equação para isolar
e verificar se conseguimos separar as variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar o termo que contém
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Simplificando a fração no lado direito:
Então, temos:
Passo 4
Podemos reescrever a equação para tentar separar as variáveis
e
:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Agora, movendo todos os termos para o lado esquerdo:
Passo 5
Observando a equação, percebemos que ainda não está separável de forma direta. Contudo, podemos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir
. Assim, temos:
Rearranjando para
:
Passo 6
Substituindo
na equação original:
Simplificando:
Substituindo
:
Passo 7
Rearranjando os termos para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Multiplicando a equação por
:
Isso permite escrever:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Resposta
A equação é separável e sua solução geral é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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(e) .
(e)
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no ponto
.
Determine as integrais