Determine as integrais
integral 3 x raiz2 x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a integral . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente técnicas de integração usando substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que possa ser substituída para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Olhando para u = 2x^2 - 4 dentro da raiz, parece um bom candidato. Vamos definir:
Isso vai ajudar a simplificar a parte da raiz quadrada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 4x Rightarrow du = 4x ,dx em relação a x ,dx = du4 para substituir 3x ,dx = 34 du . Derivando :
No integrando original, temos . Vamos resolver para expressar em termos de :
Portanto:

Passo 4

Substituímos integral 3x raiz2x^2 - 4 ,dx = integral raizu cdot 34 du = 34 integral raizu ,du e na integral original:
Agora, a integral ficou mais simples!

Passo 5

Vamos integrar integral u^1/2 ,du = u^3/23/2 = 23 u^3/2 . Lembrando que 34 cdot 23 u^3/2 = 12 u^3/2 , a integral de é quando . Então:
Multiplicando pelo coeficiente que estava na frente:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo 12 (2x^2 - 4)^3/2 + C :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de 12 (2x^2 - 4)^3/2 + C é:

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