Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, a gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde
. Vamos precisar de algumas ideias de cálculo, como derivadas, para achar a inclinação da reta tangente, e depois usar isso para achar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor de
. Isso vai nos dar o ponto exato onde a reta tangente e a normal vão tocar o gráfico.
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para saber a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada de
é
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 2.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo
e
:
Então, a equa��ão da reta tangente é
.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do inverso da inclinação da reta original. Então, se a inclinação da tangente é 2, a inclinação da normal é:
Passo 7
Usando novamente a fórmula da equação da reta com a inclinação da normal e o mesmo ponto
:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
As equações das retas são:
- Tangente:
- Normal:
Exercícios relacionados
Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(a)
(a)
Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(e) .
(e)
Determine as integrais