Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função f(x) = sen(2x) no ponto x = 0.

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde . Vamos precisar de algumas ideias de cálculo, como derivadas, para achar a inclinação da reta tangente, e depois usar isso para achar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor de . Isso vai nos dar o ponto exato onde a reta tangente e a normal vão tocar o gráfico.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para saber a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada de é .

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo e :
Então, a equa��ão da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação de uma reta perpendicular é o negativo do inverso da inclinação da reta original. Então, se a inclinação da tangente é 2, a inclinação da normal é:

Passo 7

Usando novamente a fórmula da equação da reta com a inclinação da normal e o mesmo ponto :
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

As equações das retas são:
  • Tangente:
  • Normal:

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Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(a) 2 x + y^2 + 2 x y y' = 0
Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(e) 2x - y = 1.
Determine as integrais
integral 3 x raiz2 x^2-4 d x
integral[(3 x^6-4 x^5+2 x^2x^2)-4 x] d x