Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são polinômios, exponenciais, senos ou cossenos. Vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) com uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica, que é uma forma facilitada de resolver equações lineares. A equação característica aqui é
.
Passo 3
Vamos resolver
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (aqui, só queremos a solução geral, então elas ficam assim mesmo).
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa
usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, vamos supor que
também seja um polinômio de grau 2:
Onde
,
e
são coeficientes que precisamos descobrir.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Organizando os termos por potência de
:
Passo 8
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de
:
Passo 9
Agora que temos
,
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Determine uma equação diferencial cuja solução seja
.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
f. ;
f.
Determine se cada uma das equações são exatas. Para as exatas, encontre a solução.
.
Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.