Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo: y^prime prime-y^prime-2 y=-2 t+4 t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é o método dos coeficientes indeterminados, que ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são polinômios, exponenciais, senos ou cossenos. Vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) com uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica, que é uma forma facilitada de resolver equações lineares. A equação característica aqui é .

Passo 3

Vamos resolver r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes yh(t) = C1 e^2t + C2 e^-t e , a solução da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (aqui, só queremos a solução geral, então elas ficam assim mesmo).

Passo 5

Agora, vamos achar uma solução particular yp(t) = At^2 + Bt + C para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, vamos supor que também seja um polinômio de grau 2:
Onde , e são coeficientes que precisamos descobrir.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de yp'(t) = 2At + B :
yp''(t) = 2A
2A - (2At + B) - 2(At^2 + Bt + C) = -2t + 4t^2
Substituindo , e na equação original:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
2A - 2At - B - 2At^2 - 2Bt - 2C = -2t + 4t^2
Organizando os termos por potência de -2A t^2 + (-2A - 2B) t + (2A - B - 2C) = 4t^2 - 2t :

Passo 8

Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de -2A = 4 Rightarrow A = -2 :
-2A - 2B = -2 Rightarrow -2(-2) - 2B = -2 Rightarrow 4 - 2B = -2 Rightarrow -2B = -6 Rightarrow B = 3
2A - B - 2C = 0 Rightarrow 2(-2) - 3 - 2C = 0 Rightarrow -4 - 3 - 2C = 0 Rightarrow -7 - 2C = 0 Rightarrow C = -72

Passo 9

Agora que temos yp(t) = -2t^2 + 3t - 72 , e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t - 2t^2 + 3t - 72

Exercícios relacionados

Determine uma equação diferencial cuja solução seja y(t)=c1 e^2 t+c2 e^-3 t.
Encontre a solução de cada uma dos seguintes problemas de valor inicial.
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Determine se cada uma das equações são exatas. Para as exatas, encontre a solução. d yd x=-a x+b yb x+c y.
Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
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