Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
.
Passo 1
Vamos analisar a função dada:
,
,
,
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções, injeção e sobrejeção. Precisamos verificar se essa função é injetiva (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e se é sobrejetiva (todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é injetiva. Uma função é injetiva se, para cada elemento no contradomínio, há no máximo um elemento no domínio que mapeia para ele. Olhando para nossa função:
Nenhum valor do contradomínio é mapeado por mais de um elemento do domínio. Por exemplo,
é mapeado apenas por
,
apenas por
, e
e
por si mesmos. Portanto, a função é injetiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio é mapeado por pelo menos um elemento do domínio. Observando a função:
-
é atingido por -
é atingido por -
é atingido por -
é atingido por
Todos os elementos do conjunto
são atingidos por algum elemento do domínio. Portanto, a função é sobrejetiva.
Passo 4
Como a função é tanto injetiva quanto sobrejetiva, ela é uma função bijetiva. Agora, vamos desenhar um Diagrama de Venn para ilustrar essa função.
Passo 5
No Diagrama de Venn, representamos o domínio e o contradomínio como dois conjuntos sobrepostos. Cada seta do domínio para o contradomínio indica o mapeamento da função:
-
aponta para -
aponta para -
aponta para -
aponta para
Isso mostra claramente que cada elemento do domínio está mapeado para um único elemento no contradomínio e que todos os elementos do contradomínio são atingidos.
Resposta
A função
,
,
,
é injetiva e sobrejetiva. O Diagrama de Venn ilustra que cada elemento do domínio está mapeado para um único elemento no contradomínio e que todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função.
Diagramas de Venn
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Por que
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em
?
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em
definida por
. Calcule: