Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
.

Passo 1

Vamos analisar a função dada: , , , . O conteúdo que vamos usar aqui envolve funções, injeção e sobrejeção. Precisamos verificar se essa função é injetiva (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e se é sobrejetiva (todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é injetiva. Uma função é injetiva se, para cada elemento no contradomínio, há no máximo um elemento no domínio que mapeia para ele. Olhando para nossa função:
Nenhum valor do contradomínio é mapeado por mais de um elemento do domínio. Por exemplo, é mapeado apenas por , apenas por , e e por si mesmos. Portanto, a função é injetiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio é mapeado por pelo menos um elemento do domínio. Observando a função:
  • é atingido por
  • é atingido por
  • é atingido por
  • é atingido por
Todos os elementos do conjunto são atingidos por algum elemento do domínio. Portanto, a função é sobrejetiva.

Passo 4

Como a função é tanto injetiva quanto sobrejetiva, ela é uma função bijetiva. Agora, vamos desenhar um Diagrama de Venn para ilustrar essa função.

Passo 5

No Diagrama de Venn, representamos o domínio e o contradomínio como dois conjuntos sobrepostos. Cada seta do domínio para o contradomínio indica o mapeamento da função:
  • aponta para
  • aponta para
  • aponta para
  • aponta para
Isso mostra claramente que cada elemento do domínio está mapeado para um único elemento no contradomínio e que todos os elementos do contradomínio são atingidos.

Resposta

A função , , , é injetiva e sobrejetiva. O Diagrama de Venn ilustra que cada elemento do domínio está mapeado para um único elemento no contradomínio e que todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função.

Diagramas de Venn

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