Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para descobrir se a função dada, que vai do conjunto
para ele mesmo, é injetiva e/ou sobrejetiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva (ou um-para-um) e sobrejetiva (ou sobre). Além disso, vamos usar diagramas de Venn para visualizar essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é uma função injetiva e sobrejetiva.
-
Função Injetiva: Uma função é injetiva se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Em outras palavras, não há duas entradas que apontam para a mesma saída.
-
Função Sobrejetiva: Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio é a imagem de pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, não sobra nenhum elemento sem ser atingido pela função.
Agora, vamos analisar a função dada:
Passo 3
Verificando a Injetividade:
Vamos verificar se algum valor do contradomínio é atingido por mais de um elemento do domínio.
Observamos que:
- O elemento
do contradomínio é atingido por e por .
Isso significa que dois elementos diferentes do domínio (
e
) estão mapeados para o mesmo elemento
do contradomínio. Portanto, a função não é injetiva.
Verificando a Sobrejetividade:
Vamos ver se todo elemento do contradomínio
é atingido por pelo menos um elemento do domínio.
Analisando as imagens:
-
não está sendo atingido por nenhum elemento, pois nenhum . -
é atingido por . -
é atingido por . -
é atingido por e por .
Como o elemento
do contradomínio não é atingido por nenhum elemento do domínio, a função não é sobrejetiva.
Resposta
A função
,
,
,
não é injetiva nem sobrejetiva. Nos diagramas de Venn, podemos visualizar que o elemento
é alvo de dois elementos diferentes do domínio (
e
) e que o elemento
do contradomínio não é atingido por nenhum elemento do domínio.
Exercícios relacionados
Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Qual é a lei das seguintes funções de
em
?
associa cada número real ao número 2 .
Sejam
e
.
Você pode encontrar uma função de em
que seja injetiva?
Você pode encontrar uma função de