Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para descobrir se a função dada, que vai do conjunto para ele mesmo, é injetiva e/ou sobrejetiva. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva (ou um-para-um) e sobrejetiva (ou sobre). Além disso, vamos usar diagramas de Venn para visualizar essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma função injetiva e sobrejetiva.
  • Função Injetiva: Uma função é injetiva se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Em outras palavras, não há duas entradas que apontam para a mesma saída.
  • Função Sobrejetiva: Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio é a imagem de pelo menos um elemento do domínio. Ou seja, não sobra nenhum elemento sem ser atingido pela função.
Agora, vamos analisar a função dada:

Passo 3

Verificando a Injetividade:
Vamos verificar se algum valor do contradomínio é atingido por mais de um elemento do domínio.
Observamos que:
  • O elemento do contradomínio é atingido por e por .
Isso significa que dois elementos diferentes do domínio ( e ) estão mapeados para o mesmo elemento do contradomínio. Portanto, a função não é injetiva.
Verificando a Sobrejetividade:
Vamos ver se todo elemento do contradomínio é atingido por pelo menos um elemento do domínio.
Analisando as imagens:
  • não está sendo atingido por nenhum elemento, pois nenhum .
  • é atingido por .
  • é atingido por .
  • é atingido por e por .
Como o elemento do contradomínio não é atingido por nenhum elemento do domínio, a função não é sobrejetiva.

Resposta

A função , , , não é injetiva nem sobrejetiva. Nos diagramas de Venn, podemos visualizar que o elemento é alvo de dois elementos diferentes do domínio ( e ) e que o elemento do contradomínio não é atingido por nenhum elemento do domínio.

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Sejam e .
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