Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos e . Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos: e . A relação que nos foi dada é , , e . Nosso objetivo é:
  1. Fazer um diagrama de Venn para essa relação.
  2. Verificar se essa relação é uma função.
  3. Se for função, dizer se ela é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.
  4. Determinar o conjunto imagem.
  5. Justificar todas as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um diagrama de Venn. Ele é uma forma visual de representar as relações entre conjuntos. No nosso caso, temos dois conjuntos e , então vamos desenhar dois círculos que se sobrepõem ou não, dependendo da relação entre eles.

Passo 3

Agora, vamos representar a relação no diagrama de Venn. Cada elemento de está relacionado com exatamente um elemento de . No nosso caso, todos os elementos de estão relacionados com o elemento de . Então, no diagrama, traçamos setas de cada elemento de apontando para em .

Passo 4

Vamos verificar se essa relação é uma função. Por definição, uma relação é função se cada elemento de está relacionado com apenas um elemento de . No nosso caso, cada elemento de (ou seja, , , , ) está relacionado somente com . Portanto, sim, essa relação é uma função.

Passo 5

Agora, vamos ver se essa função é injetiva. Uma função é injetiva se elementos distintos de mapeiam para elementos distintos de . No nosso caso, todos os elementos de mapeiam para o mesmo elemento . Como vários elementos de estão relacionados com o mesmo elemento de , a função não é injetiva.

Passo 6

Em seguida, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todo elemento de é imagem de pelo menos um elemento de . Nosso conjunto tem os elementos , mas apenas está sendo mapeado pelos elementos de . Portanto, a função não é sobrejetiva.

Passo 7

Como a função não é nem injetiva nem sobrejetiva, ela também não é bijetiva. Uma função bijetiva precisa ser simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

Passo 8

Por fim, vamos determinar o conjunto imagem da função. O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores que a função realmente assume. No nosso caso, todos os elementos de mapeiam para , então o conjunto imagem é simplesmente .

Resposta

A relação define uma função que não é injetiva, nem sobrejetiva, nem bijetiva. O conjunto imagem é .

Exercícios relacionados

Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos e . Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Escreva em uma só potência:
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
.
Qual é a lei das seguintes funções de em ?
associa cada número real ao número 2 .