Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos:
e
. A relação que nos foi dada é
,
,
e
. Nosso objetivo é:
- Fazer um diagrama de Venn para essa relação.
- Verificar se essa relação é uma função.
- Se for função, dizer se ela é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.
- Determinar o conjunto imagem.
- Justificar todas as respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um diagrama de Venn. Ele é uma forma visual de representar as relações entre conjuntos. No nosso caso, temos dois conjuntos
e
, então vamos desenhar dois círculos que se sobrepõem ou não, dependendo da relação entre eles.
Passo 3
Agora, vamos representar a relação
no diagrama de Venn. Cada elemento de
está relacionado com exatamente um elemento de
. No nosso caso, todos os elementos de
estão relacionados com o elemento
de
. Então, no diagrama, traçamos setas de cada elemento de
apontando para
em
.
Passo 4
Vamos verificar se essa relação é uma função. Por definição, uma relação é função se cada elemento de
está relacionado com apenas um elemento de
. No nosso caso, cada elemento de
(ou seja,
,
,
,
) está relacionado somente com
. Portanto, sim, essa relação é uma função.
Passo 5
Agora, vamos ver se essa função é injetiva. Uma função é injetiva se elementos distintos de
mapeiam para elementos distintos de
. No nosso caso, todos os elementos de
mapeiam para o mesmo elemento
. Como vários elementos de
estão relacionados com o mesmo elemento de
, a função não é injetiva.
Passo 6
Em seguida, vamos verificar se a função é sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se todo elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de
. Nosso conjunto
tem os elementos
, mas apenas
está sendo mapeado pelos elementos de
. Portanto, a função não é sobrejetiva.
Passo 7
Como a função não é nem injetiva nem sobrejetiva, ela também não é bijetiva. Uma função bijetiva precisa ser simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Passo 8
Por fim, vamos determinar o conjunto imagem da função. O conjunto imagem é o conjunto de todos os valores que a função realmente assume. No nosso caso, todos os elementos de
mapeiam para
, então o conjunto imagem é simplesmente
.
Resposta
A relação define uma função que não é injetiva, nem sobrejetiva, nem bijetiva. O conjunto imagem é
.
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Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Escreva em uma só potência:
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
.
Qual é a lei das seguintes funções de
em
?
associa cada número real ao número 2 .