Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos e . Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos: e . A gente vai trabalhar com Diagramas de Venn para visualizar as relações entre esses conjuntos. Além disso, vamos verificar se essa relação define uma função, e se sim, se ela é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Para isso, precisamos entender os conceitos de relação, função, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um Diagrama de Venn. É uma representação gráfica que mostra todas as relações possíveis entre diferentes conjuntos. No nosso caso, vamos desenhar dois círculos, um para o conjunto e outro para o conjunto , e vamos conectar os elementos conforme a relação dada.

Passo 3

A relação fornecida é:
Isso significa que o elemento de está relacionado com em , com , e com . Note que o elemento de não está relacionado com nenhum elemento de .

Passo 4

Vamos desenhar o Diagrama de Venn:
  1. Desenhe dois círculos que se sobrepõem parcialmente.
  2. No círculo de , coloque os elementos , , , e .
  3. No círculo de , coloque os elementos , , , , , e .
  4. Conecte a , a , e a com linhas, representando a relação.
Diagrama de Venn (Imagem ilustrativa)

Passo 5

Agora, vamos verificar se essa relação define uma função. Lembra que uma função é uma relação onde cada elemento do conjunto de partida ( ) está relacionado a no máximo um elemento do conjunto de chegada ( ). Além disso, para ser uma função, é necessário que todo elemento de esteja relacionado a algum elemento de .

Passo 6

Observando a relação:
  • está relacionado a
  • está relacionado a
  • está relacionado a
  • não está relacionado a nenhum elemento de
Como o elemento de não está relacionado a nenhum elemento de , essa relação não é uma função, porque nem todo elemento de está associado a algum elemento de .

Passo 7

Já que a relação não é uma função, não precisamos verificar se ela é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, nem determinar o conjunto imagem. Esses conceitos só se aplicam quando temos uma função bem definida.

Resposta

A relação dada entre os conjuntos e não define uma função, pois o elemento de não está relacionado a nenhum elemento de .

Exercícios relacionados

Escreva em uma só potência:
Realize as seguintes operações entre intervalos.
Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos e . Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
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