Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois conjuntos:
e
. A gente vai trabalhar com Diagramas de Venn para visualizar as relações entre esses conjuntos. Além disso, vamos verificar se essa relação define uma função, e se sim, se ela é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Para isso, precisamos entender os conceitos de relação, função, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um Diagrama de Venn. É uma representação gráfica que mostra todas as relações possíveis entre diferentes conjuntos. No nosso caso, vamos desenhar dois círculos, um para o conjunto
e outro para o conjunto
, e vamos conectar os elementos conforme a relação dada.
Passo 3
A relação fornecida é:
Isso significa que o elemento
de
está relacionado com
em
,
com
, e
com
. Note que o elemento
de
não está relacionado com nenhum elemento de
.
Passo 4
Vamos desenhar o Diagrama de Venn:
- Desenhe dois círculos que se sobrepõem parcialmente.
- No círculo de
, coloque os elementos , , , e . - No círculo de
, coloque os elementos , , , , , e . - Conecte
a , a , e a com linhas, representando a relação.
(Imagem ilustrativa)
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa relação define uma função. Lembra que uma função é uma relação onde cada elemento do conjunto de partida (
) está relacionado a no máximo um elemento do conjunto de chegada (
). Além disso, para ser uma função, é necessário que todo elemento de
esteja relacionado a algum elemento de
.
Passo 6
Observando a relação:
-
está relacionado a -
está relacionado a -
está relacionado a -
não está relacionado a nenhum elemento de
Como o elemento
de
não está relacionado a nenhum elemento de
, essa relação não é uma função, porque nem todo elemento de
está associado a algum elemento de
.
Passo 7
Já que a relação não é uma função, não precisamos verificar se ela é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, nem determinar o conjunto imagem. Esses conceitos só se aplicam quando temos uma função bem definida.
Resposta
A relação dada entre os conjuntos
e
não define uma função, pois o elemento
de
não está relacionado a nenhum elemento de
.
Exercícios relacionados
Escreva em uma só potência:
Realize as seguintes operações entre intervalos.
Faça um diagrama de Venn para cada uma das relações a seguir entre os conjuntos
e
. Diga se a relação define uma função. Caso afirmativo, diga se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, e determine o conjunto imagem. Justifique.
Determine se cada uma das funções abaixo, do conjunto
para ele mesmo, é injetiva. Quais são sobrejetivas? Desenhe um diagrama de Venn para cada caso.
.