Determine se é uma função de um conjunto de todas as cadeias de bits para o cojunjunto dos números inteiros se:
é o menor número inteiro tal que o i-ésimo bit de é 1 e quando for uma cadeia vazia (uma cadeia sem bits)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função é realmente uma função que vai de todas as possíveis cadeias de bits para os números inteiros. A ideia é que, para qualquer cadeia de bits , dá o menor número inteiro onde o -ésimo bit de é 1. Se a cadeia for vazia (ou seja, sem bits), então . Para resolver isso, vamos entender o que é uma função e verificar se respeita todas as regras necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto de partida (domínio) a um único elemento de um conjunto de chegada (contradomínio). No nosso caso, o domínio é o conjunto de todas as cadeias de bits e o contradomínio são os números inteiros.

Passo 3

Agora, vamos analisar como está definida. Para qualquer cadeia de bits , procura o menor índice onde o bit é 1. Se a cadeia for vazia, ou seja, não tiver nenhum bit, então é definido como 0.

Passo 4

Precisamos verificar se, para cada cadeia de bits , existe um único número inteiro que vai associar. Vamos considerar dois casos:
  1. Cadeia não vazia com pelo menos um bit 1: Nesse caso, sempre existe um menor índice onde o bit é 1. Como estamos buscando o menor , esse número é único.
  2. Cadeia vazia ou sem bits 1: Se a cadeia for vazia, está bem definido. Se a cadeia não for vazia mas não tiver nenhum bit 1, o exercício não especificou, mas podemos assumir que também seria 0 ou algum valor previamente definido, garantindo que sempre retorna um único inteiro.

Passo 5

Como em todos os casos retorna exatamente um inteiro para cada cadeia de bits , independente se ela é vazia ou não, a função cumpre os requisitos de uma função bem definida.

Resposta

Sim, é uma função que mapeia todas as cadeias de bits para os números inteiros conforme descrito.

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