Figura 2: Foguete em ascensão e diagrama de corpo livre.
da lei de movimento de Newton, a equação se torna
m * d v / d t = T - m * g - (1/2) * rho * C_D * A * v^2
Mostre que a solução para a equação de velocidade, quando v(0) = 0, é da forma
v(t) = raiz(B / C * tanh(raiz(B * C * t)))
com B = T/m - g e C = (rho * CD * A) / (2 * m).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um foguete que tá subindo e a velocidade dele segue uma equação da segunda lei de Newton. A equação inclui a força de propulsão, o peso do foguete e a resistência do ar. A gente precisa resolver essa equação diferencial para achar uma expressão para a velocidade do foguete ao longo do tempo, dado que a velocidade inicial . Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais e funções hiperbólicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de movimento que foi dada:
Aqui:
  • é a massa do foguete,
  • é a força de propulsão,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a densidade do ar,
  • é o coeficiente de arrasto,
  • é a área de seção transversal do foguete,
  • é a velocidade,
  • é a aceleração.
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por :
Vamos definir duas constantes para facilitar:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial da forma:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para facilitar a resolução. Vamos reescrever assim:

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo com respeito a e a do lado direito com respeito a :
A integral do lado esquerdo é uma integral padrão que resulta em uma função hiperbólica. Usando uma substituição adequada, sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Igualando as integrais, temos:
Para encontrar a constante , usamos a condição inicial . Substituindo e :
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, aplicamos a função dos dois lados para resolver para :
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução para a equação de velocidade é:
onde e .

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