Figura 2: Foguete em ascensão e diagrama de corpo livre.
da lei de movimento de Newton, a equação se torna
Mostre que a solução para a equação de velocidade, quando
, é da forma
e
.
da lei de movimento de Newton, a equação se torna
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos um foguete que tá subindo e a velocidade dele segue uma equação da segunda lei de Newton. A equação inclui a força de propulsão, o peso do foguete e a resistência do ar. A gente precisa resolver essa equação diferencial para achar uma expressão para a velocidade
do foguete ao longo do tempo, dado que a velocidade inicial
. Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais e funções hiperbólicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de movimento que foi dada:
Aqui:
-
é a massa do foguete, -
é a força de propulsão, -
é a aceleração da gravidade, -
é a densidade do ar, -
é o coeficiente de arrasto, -
é a área de seção transversal do foguete, -
é a velocidade, -
é a aceleração.
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Vamos definir duas constantes para facilitar:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial da forma:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Vamos reescrever assim:
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo com respeito a
e a do lado direito com respeito a
:
A integral do lado esquerdo é uma integral padrão que resulta em uma função hiperbólica. Usando uma substituição adequada, sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Igualando as integrais, temos:
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, aplicamos a função
dos dois lados para resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução para a equação de velocidade é:
onde
e
.