Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar ou nenhuma das opções. h(x) = x^2 + cos(2x)

Passo 1

Tudo bem! A gente vai resolver um exercício de funções pares e ímpares. O objetivo é determinar se a função h(x) = x^2 + cos(2x) é par, ímpar ou nenhuma das opções. Para isso, vamos revisar o que são funções pares e ímpares e depois aplicar esses conceitos à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função Par: Uma função é par se, para todo x, . Geometricamente, ela é simétrica em relação ao eixo y.
  • Função Ímpar: Uma função é ímpar se, para todo x, . Geometricamente, ela é simétrica em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas definições à função h(x) = x^2 + cos(2x). Primeiro, calculamos :
Sabemos que:
  • (porque o quadrado de um número negativo é positivo)
  • (a função cosseno é par)
Portanto:

Passo 4

Como vimos que , isso significa que a função h(x) satisfaz a definição de função par. Agora, para confirmar, podemos verificar se ela não satisfaz a definição de função ímpar:
Claramente, , então não é ímpar.

Resposta

A função h(x) = x^2 + cos(2x) é par.

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