Seja
uma superfície fechada (compacta e
) diferenciável por partes e
um campo de vetores continuamente diferenciável. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para mostrar que a integral do rotacional de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual a zero, ou seja:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com conceitos como rotacional de um campo vetorial e superfícies fechadas. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfícies com integrais de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. É uma maneira de capturar a “circulação” do campo em torno de cada ponto da superfície.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que estabelece uma relação fundamental entre o rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície e a integral de linha desse campo ao longo da borda da superfície. O teorema diz:
Aqui,
representa a fronteira da superfície
, e
é um elemento de comprimento ao longo dessa fronteira.
Passo 4
No nosso caso, a superfície
é fechada, o que significa que ela não tem nenhuma borda. Em termos matemáticos, isso é representado por
, ou seja, a fronteira de
é o conjunto vazio.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes ao nosso caso, temos:
Mas como
, a integral de linha sobre uma fronteira vazia é simplesmente zero:
Passo 6
Portanto, substituindo esse resultado na equação anterior, concluímos que:
Resposta
A integral do rotacional de
sobre a superfície fechada
é igual a zero:
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Mostre as identidades trigonométricas:
Determine se cada uma das funções abaixo é par, ímpar ou nenhuma das opções.
Encontre o ponto terminal,
, no círculo unitário determinado pelos seguintes valores de
: