Seja uma superfície fechada (compacta e ) diferenciável por partes e um campo de vetores continuamente diferenciável. Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe pede para mostrar que a integral do rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual a zero, ou seja:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com conceitos como rotacional de um campo vetorial e superfícies fechadas. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de superfícies com integrais de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. É uma maneira de capturar a “circulação” do campo em torno de cada ponto da superfície.

Passo 3

Agora, vamos relembrar o Teorema de Stokes, que estabelece uma relação fundamental entre o rotacional de um campo vetorial sobre uma superfície e a integral de linha desse campo ao longo da borda da superfície. O teorema diz:
Aqui, representa a fronteira da superfície , e é um elemento de comprimento ao longo dessa fronteira.

Passo 4

No nosso caso, a superfície é fechada, o que significa que ela não tem nenhuma borda. Em termos matemáticos, isso é representado por , ou seja, a fronteira de é o conjunto vazio.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes ao nosso caso, temos:
Mas como , a integral de linha sobre uma fronteira vazia é simplesmente zero:

Passo 6

Portanto, substituindo esse resultado na equação anterior, concluímos que:

Resposta

A integral do rotacional de sobre a superfície fechada é igual a zero:

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