Mostre as identidades trigonométricas: (1 + sen(x)) / (1 - sen(x)) = (tan(x) + sec(x))^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a expressão é igual a . Vamos usar identidades trigonométricas para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado esquerdo da equação: . Para facilitar, podemos multiplicar o numerador e o denominador por , que é o conjugado do denominador. Isso ajuda a eliminar a seno no denominador.

Passo 3

Fazendo essa multiplicação, temos:

Passo 4

Agora, no denominador, usamos a identidade trigonométrica . Isso simplifica nossa fração para:

Passo 5

Vamos expandir o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador separadamente:

Passo 7

Reconhecendo que e , substituímos:

Passo 8

Notamos que essa expressão é o quadrado de :

Resposta

Concluímos que , comprovando a identidade trigonométrica.

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