Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma função
e dois subconjuntos
e
de
. A pergunta é para descobrir se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender um pouco sobre imagens de conjuntos e operações com conjuntos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto. Para um conjunto
, a imagem
é o conjunto de todos os elementos em
que são imagens dos elementos de
pela função
. Em outras palavras:
Agora, vamos entender o que representa
e
.
Passo 3
A união
é o conjunto de todos os elementos que estão em
ou em
. Ou seja:
Por outro lado,
é o conjunto que contém todos os elementos que estão em
ou em
, então:
Passo 4
Agora, vamos verificar se todo elemento de
está também em
. Pegue qualquer elemento
em
. Isso significa que
para algum
ou
para algum
.
Passo 5
Como
ou
, então
ou
também estão em
. Portanto,
ou
estarão em
. Isso mostra que qualquer elemento de
também está em
, ou seja:
Passo 6
Conclusão: A afirmação
é verdadeira porque todo elemento da união das imagens está também na imagem da união dos conjuntos.
Resposta
A afirmação é verdadeira.
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Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Seja
uma função e sejam
. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa:
.
Seja
uma função. Prove que
e que
.
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.