Seja uma função e sejam . Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa: .

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma função e dois subconjuntos e de . A pergunta é para descobrir se a afirmação é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender um pouco sobre imagens de conjuntos e operações com conjuntos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a imagem de um conjunto. Para um conjunto , a imagem é o conjunto de todos os elementos em que são imagens dos elementos de pela função . Em outras palavras:
Agora, vamos entender o que representa e .

Passo 3

A união é o conjunto de todos os elementos que estão em ou em . Ou seja:
Por outro lado, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em ou em , então:

Passo 4

Agora, vamos verificar se todo elemento de está também em . Pegue qualquer elemento em . Isso significa que para algum ou para algum .

Passo 5

Como ou , então ou também estão em . Portanto, ou estarão em . Isso mostra que qualquer elemento de também está em , ou seja:

Passo 6

Conclusão: A afirmação é verdadeira porque todo elemento da união das imagens está também na imagem da união dos conjuntos.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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Seja uma função. Prove que e que .
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não. .