Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função , definida por , é injetora ou não. Isso está relacionado ao conceito de funções injetoras em funções matemáticas. Para resolver isso, vamos verificar se cada combinação de gera um valor único para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Ou seja, se implica que , , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Observamos que ela utiliza produtos de potências de números primos. Cada número primo possui a propriedade de que sua decomposição em fatores primos é única. Isso é conhecido como o Teorema Fundamental da Aritmética.

Passo 4

De acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, qualquer número natural maior que 1 pode ser escrito de forma única como um produto de potências de números primos. No nosso caso, , e são primos diferentes. Portanto, se , então necessariamente , , e .

Passo 5

Isso significa que não existem duas tripletas diferentes e que resultem no mesmo valor de . Cada combinação de gera um número único, sem repetições.

Resposta

A função é injetora.

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Seja uma função. Prove que .
Seja um conjunto e seja uma função. Prove que não é sobrejetora. Dica: considere o conjunto .
Para cada uma das funções a seguir, determine se é ou não o gráfico de uma função de em . .