Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função
, definida por
, é injetora ou não. Isso está relacionado ao conceito de funções injetoras em funções matemáticas. Para resolver isso, vamos verificar se cada combinação de
gera um valor único para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio são mapeados para elementos diferentes no contradomínio. Ou seja, se
implica que
,
, e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Observamos que ela utiliza produtos de potências de números primos. Cada número primo possui a propriedade de que sua decomposição em fatores primos é única. Isso é conhecido como o Teorema Fundamental da Aritmética.
Passo 4
De acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, qualquer número natural maior que 1 pode ser escrito de forma única como um produto de potências de números primos. No nosso caso,
,
e
são primos diferentes. Portanto, se
, então necessariamente
,
, e
.
Passo 5
Isso significa que não existem duas tripletas diferentes
e
que resultem no mesmo valor de
. Cada combinação de
gera um número único, sem repetições.
Resposta
A função
é injetora.
Exercícios relacionados
Seja
uma função e sejam
e
. Então
se, e somente se,
.
Seja
uma função. Prove que
.
Seja
um conjunto e seja
uma função. Prove que
não é sobrejetora. Dica: considere o conjunto
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.