Seja uma função e sejam e . Então se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções entre conjuntos. Temos uma função e dois subconjuntos e . A afirmação que queremos provar é que se, e somente se, .
Aqui, estamos lidando com conceitos de imagem de um conjunto sob uma função e pré-imagem de um conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de um conjunto pela função . A imagem é o conjunto de todos os valores que a função atribui aos elementos de . Em outras palavras:
Então, dizer que significa que todo elemento que atribui aos elementos de está dentro de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a pré-imagem . A pré-imagem de pela função é o conjunto de todos os elementos em que mapeia para algum elemento em . Formalmente:
Dizer que quer dizer que todo elemento de é mapeado por para algum elemento em .

Passo 4

Vamos provar a afirmação “se e somente se”, ou seja, precisamos mostrar as duas direções:
  1. Se , então .
  2. Se , então .

Passo 5

Primeira direção: Suponha que . Queremos mostrar que .
Pegue qualquer elemento . Como , então . Pela definição de pré-imagem, isso significa que . Como isso vale para qualquer , concluímos que .

Passo 6

Segunda direção: Agora, suponha que . Queremos mostrar que .
Pegue qualquer elemento . Por definição de imagem, existe algum tal que . Como , então , o que implica que . Portanto, . Como isso vale para qualquer , temos que .

Resposta

Mostramos que se, e somente se, ao provar as duas direções da implicação. Portanto, a afirmação está comprovada.

Exercícios relacionados

Seja uma função. Prove que .
Qual das seguintes funções está bem-definida? definida pela equação para todo .
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não. .
Seja um conjunto e seja uma função. Prove que não é sobrejetora. Dica: considere o conjunto .