Seja
uma função e sejam
e
. Então
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções entre conjuntos. Temos uma função
e dois subconjuntos
e
. A afirmação que queremos provar é que
se, e somente se,
.
Aqui, estamos lidando com conceitos de imagem de um conjunto sob uma função e pré-imagem de um conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significam
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de um conjunto
pela função
. A imagem
é o conjunto de todos os valores que a função
atribui aos elementos de
. Em outras palavras:
Então, dizer que
significa que todo elemento que
atribui aos elementos de
está dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a pré-imagem
. A pré-imagem de
pela função
é o conjunto de todos os elementos em
que
mapeia para algum elemento em
. Formalmente:
Dizer que
quer dizer que todo elemento de
é mapeado por
para algum elemento em
.
Passo 4
Vamos provar a afirmação “se e somente se”, ou seja, precisamos mostrar as duas direções:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 5
Primeira direção: Suponha que
. Queremos mostrar que
.
Pegue qualquer elemento
. Como
, então
. Pela definição de pré-imagem, isso significa que
. Como isso vale para qualquer
, concluímos que
.
Passo 6
Segunda direção: Agora, suponha que
. Queremos mostrar que
.
Pegue qualquer elemento
. Por definição de imagem, existe algum
tal que
. Como
, então
, o que implica que
. Portanto,
. Como isso vale para qualquer
, temos que
.
Resposta
Mostramos que
se, e somente se,
ao provar as duas direções da implicação. Portanto, a afirmação está comprovada.
Exercícios relacionados
Seja
uma função. Prove que
.
Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.
Seja
um conjunto e seja
uma função. Prove que
não é sobrejetora. Dica: considere o conjunto
.