Seja
uma função. Prove que
.
Passo 1
Vamos resumir a questão: Precisamos provar que, para qualquer função
, a imagem do conjunto vazio (
) também é o conjunto vazio (
). O conteúdo envolvido aqui é Teoria dos Conjuntos e Funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa aplicar uma função a um conjunto e como a imagem de um conjunto vazio se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função
é uma regra que associa cada elemento de um conjunto
(domínio) a exatamente um elemento de um conjunto
(contradomínio). Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
. Isso representa a imagem do conjunto vazio sob a função
. A imagem de um conjunto
por
é o conjunto de todos os elementos
onde
pertence a
. Matemáticamente, podemos escrever:
Passo 4
Aplicando isso ao conjunto vazio, temos:
Mas, por definição, não existem elementos
que pertencem ao conjunto vazio (
não tem elementos).
Passo 5
Como não existem elementos para mapear, o conjunto resultante da imagem também não terá elementos. Portanto:
Resposta
Para qualquer função
, temos que
.
Exercícios relacionados
Qual das seguintes funções está bem-definida?
definida pela equação
para todo
.
Para cada uma das funções a seguir, determine se
é ou não o gráfico de uma função de
em
.
.
Seja
uma função e sejam
e
. Então
se, e somente se,
.
Determine se cada uma das funções a seguir é injetora ou não.
.