Seja uma função. Prove que .

Passo 1

Vamos resumir a questão: Precisamos provar que, para qualquer função , a imagem do conjunto vazio ( ) também é o conjunto vazio ( ). O conteúdo envolvido aqui é Teoria dos Conjuntos e Funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa aplicar uma função a um conjunto e como a imagem de um conjunto vazio se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma regra que associa cada elemento de um conjunto (domínio) a exatamente um elemento de um conjunto (contradomínio). Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa . Isso representa a imagem do conjunto vazio sob a função . A imagem de um conjunto por é o conjunto de todos os elementos onde pertence a . Matemáticamente, podemos escrever:

Passo 4

Aplicando isso ao conjunto vazio, temos:
Mas, por definição, não existem elementos que pertencem ao conjunto vazio ( não tem elementos).

Passo 5

Como não existem elementos para mapear, o conjunto resultante da imagem também não terá elementos. Portanto:

Resposta

Para qualquer função , temos que .

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