Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2^{x}} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. O que a gente precisa verificar aqui é se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor definido) ou se ela diverge (não tem um valor definido). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
, então:
Isso nos deixa com a integral:
Passo 3
Agora, observe que
é uma função exponencial decrescente. Integrais desse tipo são conhecidas por convergirem quando a base do exponencial é menor que 1, o que é o caso aqui.
Passo 4
Para calcular a integral, usamos a fórmula de integração de funções exponenciais:
Onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos:
Passo 6
Agora, vamos avaliar os limites. Quando
tende a
,
tende a 0. Quando
,
. Então:
Resposta
A integral é convergente e o seu valor é
.
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