Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cossec}^{2}(x) d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de integrais impróprias. A questão pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o valor dela. Vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como analisar o comportamento da função no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
. Na matemática,
é equivalente a
, que é
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa integral é convergente ou divergente. Olhando para a função
, vemos que conforme
se aproxima de 0,
tende a 0, fazendo com que
tenda ao infinito. Isso indica que pode haver uma descontinuidade no limite inferior da integral, o que torna a integral imprópria.
Passo 4
Para analisar a convergência, vamos calcular o limite da integral quando nos aproximamos de 0:
Sabemos que a antiderivada de
é
. Então,
Sabendo que
e
, conforme
se aproxima de 0,
tende a infinito porque
tende a 0. Portanto,
Resposta
A integral
é divergente.