Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{cossec}^{2}(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integrais impróprias. A questão pede para determinar se a integral é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular o valor dela. Vamos precisar entender o que é uma integral imprópria e como analisar o comportamento da função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função . Na matemática, é equivalente a , que é . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa integral é convergente ou divergente. Olhando para a função , vemos que conforme se aproxima de 0, tende a 0, fazendo com que tenda ao infinito. Isso indica que pode haver uma descontinuidade no limite inferior da integral, o que torna a integral imprópria.

Passo 4

Para analisar a convergência, vamos calcular o limite da integral quando nos aproximamos de 0:
Sabemos que a antiderivada de é . Então,
Sabendo que e , conforme se aproxima de 0, tende a infinito porque tende a 0. Portanto,

Resposta

A integral é divergente.

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