Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \operatorname{tg}(x) d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos que determinar se a integral é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e comportamento das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a função tangente, , pode apresentar assíntotas verticais onde o cosseno de é zero, pois . Essas assíntotas ocorrem em , onde é um número inteiro.

Passo 3

Observando os limites de integração, de a , notamos que no ponto , que está dentro do intervalo, a tangente tem uma assíntota vertical. Isso significa que a função tende ao infinito nesse ponto, tornando a integral imprópria.

Passo 4

Para avaliar a convergência, vamos dividir a integral no ponto de descontinuidade:

Passo 5

Calculando cada parte separadamente:
A integral de é . Então,

Passo 6

Analisando os limites:
  • À medida que se aproxima de pela esquerda, , então .
  • À medida que se aproxima de pela direita, , então .
Como ambas as partes tendem ao infinito, a integral total também tende ao infinito.

Resposta

A integral é divergente.

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