Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} \operatorname{tg}(x) d x
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos que determinar se a integral
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e comportamento das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a função tangente,
, pode apresentar assíntotas verticais onde o cosseno de
é zero, pois
. Essas assíntotas ocorrem em
, onde
é um número inteiro.
Passo 3
Observando os limites de integração, de
a
, notamos que no ponto
, que está dentro do intervalo, a tangente tem uma assíntota vertical. Isso significa que a função tende ao infinito nesse ponto, tornando a integral imprópria.
Passo 4
Para avaliar a convergência, vamos dividir a integral no ponto de descontinuidade:
Passo 5
Calculando cada parte separadamente:
A integral de
é
. Então,
Passo 6
Analisando os limites:
- À medida que
se aproxima de pela esquerda, , então . - À medida que
se aproxima de pela direita, , então .
Como ambas as partes tendem ao infinito, a integral total também tende ao infinito.
Resposta
A integral é divergente.