Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln (x))^{2}} d x

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral está nos dizendo. Ela vai de até o infinito, o que significa que é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. A função que estamos integrando é . Precisamos verificar se essa integral “chega a um valor finito” ou se “cresce sem limite” quando vai para o infinito.

Passo 3

Para determinar a convergência, podemos usar uma comparação com uma função mais simples. Observamos que quando tende ao infinito, também tende ao infinito, mas mais lentamente que . A função diminui à medida que aumenta.
Podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar , então . Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples: . Sabemos que a integral de converge se . Aqui, , que é maior que 1, então a integral converge.
Para calcular o valor da integral, integramos:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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