Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln (x))^{2}} d x
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente determinar se a integral
é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral está nos dizendo. Ela vai de
até o infinito, o que significa que é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. A função que estamos integrando é
. Precisamos verificar se essa integral “chega a um valor finito” ou se “cresce sem limite” quando
vai para o infinito.
Passo 3
Para determinar a convergência, podemos usar uma comparação com uma função mais simples. Observamos que quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito, mas mais lentamente que
. A função
diminui à medida que
aumenta.
Podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
, então
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, a integral ficou mais simples:
. Sabemos que a integral de
converge se
. Aqui,
, que é maior que 1, então a integral converge.
Para calcular o valor da integral, integramos:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.