Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: precisamos verificar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, como substituição trigonométrica e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, observe que a função tem um denominador que se aproxima de zero quando se aproxima de 2, já que quando . Isso pode indicar um ponto onde a integral pode ser impropriada, ou seja, pode ter problemas de convergência.

Passo 3

Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Seja . Assim, e . Essa substituição simplifica a integral:

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
Agora, vamos voltar para a variável original . Como , então . Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 2:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 2.

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