Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}} d x
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo: precisamos verificar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, como substituição trigonométrica e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, observe que a função tem um denominador que se aproxima de zero quando se aproxima de 2, já que quando . Isso pode indicar um ponto onde a integral pode ser impropriada, ou seja, pode ter problemas de convergência.
Passo 3
Para resolver a integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Seja . Assim, e . Essa substituição simplifica a integral:
Passo 4
Simplificando a expressão, temos:
Agora, vamos voltar para a variável original . Como , então . Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 2: