Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é dita imprópria quando envolve limites infinitos ou quando a função tem descontinuidades no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior da integral é , então temos uma integral imprópria.

Passo 3

Para determinar se a integral converge ou diverge, podemos comparar a função dada com uma função cujo comportamento conhecemos. Sabemos que a integral converge se e diverge se .

Passo 4

Vamos reescrever a nossa função para facilitar a comparação:
Podemos observar que, para valores grandes de , , então a função se comporta como .

Passo 5

Comparando com a função , temos . Como , pela regra que mencionamos, a integral deve convergir.

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da integral. Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar:
Quando , . Quando , . A integral fica:

Passo 7

Agora, integramos :

Passo 8

Aplicando os limites de integração:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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