Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é dita imprópria quando envolve limites infinitos ou quando a função tem descontinuidades no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior da integral é
, então temos uma integral imprópria.
Passo 3
Para determinar se a integral converge ou diverge, podemos comparar a função dada com uma função cujo comportamento conhecemos. Sabemos que a integral
converge se
e diverge se
.
Passo 4
Vamos reescrever a nossa função para facilitar a comparação:
Podemos observar que, para valores grandes de
,
, então a função se comporta como
.
Passo 5
Comparando com a função
, temos
. Como
, pela regra que mencionamos, a integral deve convergir.
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da integral. Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar:
Quando
,
. Quando
,
. A integral fica:
Passo 7
Agora, integramos
:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.
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