Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{+\infty} x d x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a integral
é convergente ou divergente. Isso está ligado ao conteúdo de integrais impróprias e à convergência ou divergência dessas integrais. Vamos precisar entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente e aplicar isso para resolver a questão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral imprópria. São integrais onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função tem algum ponto problemático (como assíntotas). No nosso caso, o intervalo vai de
a
, então é uma integral imprópria de intervalo infinito.
Passo 3
Agora, para determinar se a integral é convergente ou divergente, precisamos ver se o limite dessa integral existe e é finito. Se existir e for um número finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, é divergente.
Passo 4
Vamos calcular a integral
e depois fazer
tendendo ao infinito. Integrando, temos:
Então,
Passo 5
Agora, vamos ver o que acontece quando
tende ao infinito:
Parece que o resultado é zero, mas temos que ter cuidado! A função
é ímpar, ou seja,
, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero resulta em zero. No entanto, isso não garante que a integral
converja no sentido estrito, porque os dois lados do infinito não estão “controlados” de forma independente.
Passo 6
Para verificar a convergência, devemos analisar os limites separadamente:
Calculando cada um:
Passo 7
Como um lado da integral tende a
e o outro a
, a integral total não converge para um valor finito. Mesmo que as áreas se anulem quando vistas juntas, individualmente elas não são finitas.
Resposta
A integral
é divergente.
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