Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{3} \frac{1}{x^{2}+9} d x
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral tem um limite inferior de
, o que a torna uma integral imprópria. Para resolver, precisamos calcular o limite de uma integral com limite inferior finito quando esse limite tende a
.
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada da função
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração. Como o limite inferior é
, calculamos:
Sabemos que
e
quando
.
Passo 5
Substituindo os limites na antiderivada:
Simplificando:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.
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