Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{3} \frac{1}{x^{2}+9} d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre integrais impróprias e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral tem um limite inferior de , o que a torna uma integral imprópria. Para resolver, precisamos calcular o limite de uma integral com limite inferior finito quando esse limite tende a .

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada da função . Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração. Como o limite inferior é , calculamos:
Sabemos que e quando .

Passo 5

Substituindo os limites na antiderivada:
Simplificando:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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