Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{1} x e^{2 x} d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a integral é convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de integrais impróprias, onde a gente lida com limites infinitos. Vamos precisar saber como calcular integrais envolvendo exponenciais e polinômios, além de aplicar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o limite improprio. Como o limite inferior é , a gente expressa isso como um limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:

Passo 4

Aplicando a integração por partes:

Passo 5

Agora, voltamos à nossa integral original com o limite:
Vamos calcular isso avaliando nos limites:

Passo 6

Simplificando o primeiro termo:
Agora, vamos analisar o limite quando . Note que tende a 0 porque vai para . Além disso, também tende a 0, já que cresce linearmente negativo, mas decresce exponencialmente para 0 mais rápido.

Passo 7

Portanto, o limite é:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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