Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{1} x e^{2 x} d x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar se a integral
é convergente ou divergente. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de integrais impróprias, onde a gente lida com limites infinitos. Vamos precisar saber como calcular integrais envolvendo exponenciais e polinômios, além de aplicar limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma que possamos lidar com o limite improprio. Como o limite inferior é
, a gente expressa isso como um limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Passo 4
Aplicando a integração por partes:
Passo 5
Agora, voltamos à nossa integral original com o limite:
Vamos calcular isso avaliando nos limites:
Passo 6
Simplificando o primeiro termo:
Agora, vamos analisar o limite quando
. Note que
tende a 0 porque
vai para
. Além disso,
também tende a 0, já que
cresce linearmente negativo, mas
decresce exponencialmente para 0 mais rápido.
Passo 7
Portanto, o limite é:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.
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