Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{4}^{5} \frac{1}{(5-x)^{\frac{2}{5}}} d x
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral
é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calculá-la. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral, especialmente sobre integrais impróprias, que envolvem limites quando há descontinuidade nos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
tem uma descontinuidade no ponto
, pois o denominador se aproxima de zero, o que faz com que a função tenda ao infinito. Portanto, essa integral é imprópria no limite superior. Para resolver, vamos reescrever a integral como um limite:
Passo 3
Agora, vamos integrar a função
. Para facilitar, fazemos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Integrando
:
Revertendo a substituição
:
Passo 4
Voltando à integral definida e aplicando os limites após a substituição:
Simplificando:
À medida que
se aproxima de 5 pela esquerda,
se aproxima de 0, então
também se aproxima de 0:
Passo 5
Como o limite existe e resulta em um valor finito (
), a integral é convergente. Portanto, o valor da integral é:
Resposta
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