Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{4}^{5} \frac{1}{(5-x)^{\frac{2}{5}}} d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calculá-la. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo Integral, especialmente sobre integrais impróprias, que envolvem limites quando há descontinuidade nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função tem uma descontinuidade no ponto , pois o denominador se aproxima de zero, o que faz com que a função tenda ao infinito. Portanto, essa integral é imprópria no limite superior. Para resolver, vamos reescrever a integral como um limite:

Passo 3

Agora, vamos integrar a função . Para facilitar, fazemos uma substituição:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Integrando :
Revertendo a substituição :

Passo 4

Voltando à integral definida e aplicando os limites após a substituição:
Simplificando:
À medida que se aproxima de 5 pela esquerda, se aproxima de 0, então também se aproxima de 0:

Passo 5

Como o limite existe e resulta em um valor finito ( ), a integral é convergente. Portanto, o valor da integral é:

Resposta

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