Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-2}^{2} \frac{1}{x^{2}-1} d x

Passo 1

Beleza! A gente tem que analisar a integral . O tema aqui é cálculo de integrais impróprias, porque a função pode ter pontos onde não está definida dentro do intervalo. Vamos precisar entender onde a função está com problemas e ver se a integral dá certo ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função está indefinida. O denominador é zero quando e . Então, a função tem descontinuidades nesses pontos dentro do intervalo . Isso torna a integral imprópria, porque estamos integrando passando por pontos onde a função não existe.

Passo 3

Para resolver, a gente divide a integral em partes, separando nos pontos onde a função não está definida. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada parte. A integral de é:
Então, aplicando isso em cada intervalo:
  1. De -2 a -1:
  1. De -1 a 1:
  1. De 1 a 2:

Passo 5

Vamos calcular cada limite:
  1. De -2 a -1:
  1. De -1 a 1:
  1. De 1 a 2:

Passo 6

Observamos que os limites das primeiras duas integrais vão para infinito e menos infinito, respectivamente. Mas, somando tudo:
No entanto, como a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se anulam, a integral total converge para zero.

Resposta

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