Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-2}^{2} \frac{1}{x^{2}-1} d x
Passo 1
Beleza! A gente tem que analisar a integral
. O tema aqui é cálculo de integrais impróprias, porque a função pode ter pontos onde não está definida dentro do intervalo. Vamos precisar entender onde a função
está com problemas e ver se a integral dá certo ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
está indefinida. O denominador
é zero quando
e
. Então, a função tem descontinuidades nesses pontos dentro do intervalo
. Isso torna a integral imprópria, porque estamos integrando passando por pontos onde a função não existe.
Passo 3
Para resolver, a gente divide a integral em partes, separando nos pontos onde a função não está definida. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada parte. A integral de
é:
Então, aplicando isso em cada intervalo:
- De -2 a -1:
- De -1 a 1:
- De 1 a 2:
Passo 5
Vamos calcular cada limite:
- De -2 a -1:
- De -1 a 1:
- De 1 a 2:
Passo 6
Observamos que os limites das primeiras duas integrais vão para infinito e menos infinito, respectivamente. Mas, somando tudo:
No entanto, como a função é simétrica e as áreas positivas e negativas se anulam, a integral total converge para zero.
Resposta
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