Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x+3}} d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral é convergente ou divergente. Isso está dentro do cálculo integral, especificamente lidando com integrais impróprias porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função e calcular a integral se ela for convergente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: . Sabemos que é a raiz quadrada de , então temos uma função decrescente à medida que aumenta.

Passo 3

Como o limite de integração é , estamos lidando com uma integral imprópria. Para verificar se ela converge, vamos calcular o limite da integral quando o limite superior tende ao infinito.

Passo 4

Vamos calcular a antiderivada de . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração:

Passo 6

Analisando o limite, conforme tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto:
Assim, toda a expressão tende a , ou seja, a integral não tem um valor finito.

Resposta

A integral é divergente.

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