Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x+3}} d x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral
é convergente ou divergente. Isso está dentro do cálculo integral, especificamente lidando com integrais impróprias porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função e calcular a integral se ela for convergente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando:
. Sabemos que
é a raiz quadrada de
, então temos uma função decrescente à medida que
aumenta.
Passo 3
Como o limite de integração é
, estamos lidando com uma integral imprópria. Para verificar se ela converge, vamos calcular o limite da integral quando o limite superior tende ao infinito.
Passo 4
Vamos calcular a antiderivada de
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração:
Passo 6
Analisando o limite, conforme
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto:
Assim, toda a expressão tende a
, ou seja, a integral não tem um valor finito.
Resposta
A integral
é divergente.
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