Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{0} e^{3 x} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que pede para determinar se ela converge ou diverge, e se convergir, calcular o valor. O enunciado é:
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais impróprias, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar de
a
. Isso é uma integral imprópria porque envolve um limite infinito. Para resolver, vamos reescrever a integral usando um limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral indefinida de
. A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando os limites de integração, temos:
Simplificando
que é 1:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite
. Como
tende a
e o expoente é positivo (
),
tende a 0.
Então:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.