Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{0} e^{3 x} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para determinar se ela converge ou diverge, e se convergir, calcular o valor. O enunciado é: . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais impróprias, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar de -infinito a 0. Isso é uma integral imprópria porque envolve um limite infinito. Para resolver, vamos reescrever a integral usando um limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral indefinida de . A antiderivada de é:
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando os limites de integração, temos:
Simplificando e^0 que é 1:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite . Como a tende a -infinito e o expoente é positivo ( ), tende a 0.
Então:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é 1/3.

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