Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+2)(x+3)} d x
Passo 1
Beleza, então temos a integral
. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a decomposição em frações parciais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
usando frações parciais. Isso ajuda a tornar a integral mais fácil de calcular. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Vamos resolver para A e B escolhendo valores estratégicos para x.
Passo 4
Escolhendo
:
Escolhendo
:
Passo 5
Agora que temos A = 1 e B = -1, podemos reescrever a fração:
Passo 6
Vamos substituir isso na integral original:
Isso separa a integral em duas partes mais simples.
Passo 7
Integramos cada termo separadamente:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Passo 9
Calculando o limite quando
:
Calculando no limite inferior
:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é:
Exercícios relacionados
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{0} e^{3 x} d x
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x+3}} d x
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+4 x+6}
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{9} \frac{d x}{(x+9) \sqrt{x}}