Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+2)(x+3)} d x

Passo 1

Beleza, então temos a integral . Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito). Vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a decomposição em frações parciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Isso ajuda a tornar a integral mais fácil de calcular. Queremos encontrar constantes A e B tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos resolver para A e B escolhendo valores estratégicos para x.

Passo 4

Escolhendo :
Escolhendo :

Passo 5

Agora que temos A = 1 e B = -1, podemos reescrever a fração:

Passo 6

Vamos substituir isso na integral original:
Isso separa a integral em duas partes mais simples.

Passo 7

Integramos cada termo separadamente:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:

Passo 9

Calculando o limite quando :
Calculando no limite inferior :

Resposta

A integral é convergente e seu valor é:

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Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x+3}} d x
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Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{9} \frac{d x}{(x+9) \sqrt{x}}