Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+4 x+6}
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se a integral
é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo integral, especialmente envolvendo integrais impróprias e técnicas de completamento de quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Para facilitar a resolução, vamos completar o quadrado desse polinômio. Completar o quadrado ajuda a reescrever expressões quadráticas de forma que possamos identificar facilmente integrais conhecidas.
Passo 3
Para completar o quadrado de
, seguimos esses passos:
- Pegamos o coeficiente de
, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: . - Reescrevemos a expressão adicionando e subtraindo esse valor:
.
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos o denominador original na integral pela expressão completada:
Essa forma é semelhante à integral padrão
, que sabemos que converge e tem resultado
.
Passo 5
Para deixar ainda mais claro, fazemos uma substituição simples: seja
, então
. A integral fica:
Aqui,
, então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da integral padrão:
Portanto, a integral é convergente e seu valor é
.
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.
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