Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}+4 x+6}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos calcular o valor dela. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo integral, especialmente envolvendo integrais impróprias e técnicas de completamento de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Para facilitar a resolução, vamos completar o quadrado desse polinômio. Completar o quadrado ajuda a reescrever expressões quadráticas de forma que possamos identificar facilmente integrais conhecidas.

Passo 3

Para completar o quadrado de , seguimos esses passos:
  1. Pegamos o coeficiente de x, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado: .
  2. Reescrevemos a expressão adicionando e subtraindo esse valor: .
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos o denominador original na integral pela expressão completada:
Essa forma é semelhante à integral padrão , que sabemos que converge e tem resultado .

Passo 5

Para deixar ainda mais claro, fazemos uma substituição simples: seja , então . A integral fica:
Aqui, , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula da integral padrão:
Portanto, a integral é convergente e seu valor é .

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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