Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{9} \frac{d x}{(x+9) \sqrt{x}}
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que analisar a integral
e descobrir se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor definido). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre integrais impróprias e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo de 0 a 9 onde a função
não está bem comportada. Olhando pra gente, quando
, o denominador
vira 0 porque
. Isso significa que a função tende ao infinito em
, então essa é uma integral imprópria no limite inferior.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos reescrever ela como um limite. Em vez de começar exatamente em 0, a gente começa em um número bem pequeno
e depois leva
a zero. Assim:
Isso ajuda a gente a lidar com a “bagunça” que acontece em
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Uma boa dica aqui é fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar
. Ent��o,
e
.
Substituindo na integral:
Passo 5
A gente agora tem uma integral mais simples:
. Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco-tangente. Integrando, a gente tem:
Agora, vamos avaliar isso de
até
:
Passo 6
Sabemos que
e que
tende a 0 quando
tende a 0. Então, substituindo isso:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.
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