Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{9} \frac{d x}{(x+9) \sqrt{x}}

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que analisar a integral e descobrir se ela converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor definido). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especialmente sobre integrais impróprias e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se há algum ponto no intervalo de 0 a 9 onde a função não está bem comportada. Olhando pra gente, quando , o denominador vira 0 porque . Isso significa que a função tende ao infinito em , então essa é uma integral imprópria no limite inferior.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos reescrever ela como um limite. Em vez de começar exatamente em 0, a gente começa em um número bem pequeno e depois leva a zero. Assim:
Isso ajuda a gente a lidar com a “bagunça” que acontece em .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Uma boa dica aqui é fazer uma substituição para simplificar. Vamos deixar . Ent��o, e .
Substituindo na integral:

Passo 5

A gente agora tem uma integral mais simples: . Essa é uma integral padrão que resulta em uma função arco-tangente. Integrando, a gente tem:
Agora, vamos avaliar isso de até :

Passo 6

Sabemos que e que tende a 0 quando tende a 0. Então, substituindo isso:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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