Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a integral
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, que lidam com limites infinitos ou pontos onde a função não é bem comportada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando:
. Essa é a mesma coisa que escrever
. Precisamos verificar onde essa função pode ter problemas, como pontos onde o denominador se anula ou onde a função não está definida.
Passo 3
Observamos que
é o cúbico de
, e por isso está definida para todo valor real de
. No entanto, quando
, o denominador fica zero, o que pode causar uma descontinuidade ou uma situação onde a função “explode” para infinito. Além disso, como os limites de integração são de
a
, precisamos também considerar o comportamento da função conforme
vai para
e
.
Passo 4
Para lidar com a descontinuidade em
e os limites infinitos, vamos dividir a integral em duas partes:
Essas são integrais impróprias porque envolvem limites infinitos e um ponto de descontinuidade em
.
Passo 5
Vamos encontrar a antiderivada da função
. Usando a regra de integração para potências:
Aqui,
, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente, aplicando os limites apropriados.
Para
:
À medida que
,
, então
. Portanto, essa parte da integral diverge.
Para
:
À medida que
,
. Então, essa parte também diverge.
Resposta
A integral
é divergente.