Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a integral converge ou diverge. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, que lidam com limites infinitos ou pontos onde a função não é bem comportada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: . Essa é a mesma coisa que escrever . Precisamos verificar onde essa função pode ter problemas, como pontos onde o denominador se anula ou onde a função não está definida.

Passo 3

Observamos que é o cúbico de , e por isso está definida para todo valor real de . No entanto, quando , o denominador fica zero, o que pode causar uma descontinuidade ou uma situação onde a função “explode” para infinito. Além disso, como os limites de integração são de a , precisamos também considerar o comportamento da função conforme vai para e .

Passo 4

Para lidar com a descontinuidade em e os limites infinitos, vamos dividir a integral em duas partes:
Essas são integrais impróprias porque envolvem limites infinitos e um ponto de descontinuidade em .

Passo 5

Vamos encontrar a antiderivada da função . Usando a regra de integração para potências:
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente, aplicando os limites apropriados.
Para :
À medida que , , então . Portanto, essa parte da integral diverge.
Para :
À medida que , . Então, essa parte também diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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