Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{+\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos se a integral é convergente ou divergente. Isso se encaixa no estudo de integrais impróprias, onde precisamos analisar comportamentos no infinito e em pontos onde a função pode não ser bem definida. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções com expoentes fracionários e como lidar com limites no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais clara usando potências: . Notamos que há um ponto crítico em , onde o denominador se torna zero, indicando uma possível descontinuidade.

Passo 3

Como a integral vai de até e temos uma descontinuidade em , precisamos dividir a integral em duas partes para analisar cada segmento separadamente:

Passo 4

Vamos começar pela primeira parte: . Aqui, no intervalo , é negativo, mas como estamos lidando com a raiz cúbica, que é definida para números negativos, a função não apresenta problemas de definição nesse intervalo. Fazendo a substituição , temos , e os limites de integração mudam para indo de a :

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites:
Essa parte da integral resulta em um valor finito, o que significa que é convergente.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: . Fazendo a mesma substituição , , e quando tende a , também tende a . A integral fica:

Passo 7

Integrando :
Aplicando os limites:
Essa parte da integral tende a , ou seja, é divergente.

Resposta

A integral é divergente.

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