Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{+\infty}^{-1} \frac{1}{\sqrt[3]{x-1}} d x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos se a integral
é convergente ou divergente. Isso se encaixa no estudo de integrais impróprias, onde precisamos analisar comportamentos no infinito e em pontos onde a função pode não ser bem definida. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções com expoentes fracionários e como lidar com limites no infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais clara usando potências:
. Notamos que há um ponto crítico em
, onde o denominador se torna zero, indicando uma possível descontinuidade.
Passo 3
Como a integral vai de
até
e temos uma descontinuidade em
, precisamos dividir a integral em duas partes para analisar cada segmento separadamente:
Passo 4
Vamos começar pela primeira parte:
. Aqui, no intervalo
,
é negativo, mas como estamos lidando com a raiz cúbica, que é definida para números negativos, a função não apresenta problemas de definição nesse intervalo. Fazendo a substituição
, temos
, e os limites de integração mudam para
indo de
a
:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Aplicando os limites:
Essa parte da integral resulta em um valor finito, o que significa que é convergente.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte:
. Fazendo a mesma substituição
,
, e quando
tende a
,
também tende a
. A integral fica:
Passo 7
Integrando
:
Aplicando os limites:
Essa parte da integral tende a
, ou seja, é divergente.
Resposta
A integral
é divergente.