Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{2} \frac{1}{4 x-5} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . A gente vai ver se ela é convergente ou divergente. Pra isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função pode ter problemas, ou seja, onde o denominador é zero.
Resolvendo , temos ou .

Passo 3

Vendo que está dentro do intervalo de integração [0, 2], isso significa que a função tem uma descontinuidade nesse ponto. A integral, então, é uma integral imprópria porque a função tende ao infinito em .

Passo 4

Pra lidar com isso, a gente divide a integral em duas partes: de 0 até 1,25 e de 1,25 até 2. E pra cada parte, a gente vai tomar o limite conforme a gente se aproxima de 1,25.
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada parte. Primeiro, a integral de até :
Aplicando os limites:
Quando se aproxima de 1,25 pelo lado esquerdo, se aproxima de 0 negativo, então o logaritmo tende a .

Passo 6

Como o primeiro limite tende a e o segundo limite precisa ser somado, o resultado geral da integral será divergente, já que uma das partes não converge para um número finito.

Resposta

A integral é divergente.

Exercícios relacionados

Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{+\infty} \cos (x) d x
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{+\infty} \frac{5}{2 x+3} d x
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}} d x
Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x \sqrt[4]{\ln (x)}} d x
3a
Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue. ${1,4,7,10, ···}