Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{2} \frac{1}{4 x-5} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
. A gente vai ver se ela é convergente ou divergente. Pra isso, vamos usar conhecimentos de cálculo sobre integrais impróprias e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
pode ter problemas, ou seja, onde o denominador é zero.
Resolvendo
, temos
ou
.
Passo 3
Vendo que
está dentro do intervalo de integração [0, 2], isso significa que a função tem uma descontinuidade nesse ponto. A integral, então, é uma integral imprópria porque a função tende ao infinito em
.
Passo 4
Pra lidar com isso, a gente divide a integral em duas partes: de 0 até 1,25 e de 1,25 até 2. E pra cada parte, a gente vai tomar o limite conforme a gente se aproxima de 1,25.
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver cada parte. Primeiro, a integral de
até
:
Aplicando os limites:
Quando
se aproxima de 1,25 pelo lado esquerdo,
se aproxima de 0 negativo, então o logaritmo tende a
.
Passo 6
Como o primeiro limite tende a
e o segundo limite precisa ser somado, o resultado geral da integral será divergente, já que uma das partes não converge para um número finito.
Resposta
A integral
é divergente.
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