Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x \sqrt[4]{\ln (x)}} d x
3a
Encontre uma fórmula para o termo geral integral1^e 1x raiz[4]ln (x) d x 3a Encontre uma fórmula para o termo >=ral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue. ${1,4,7,10, ···}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos duas questões:
  1. Integral: Precisamos determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos calculá-la.
  2. Sequência: Temos a sequência e precisamos encontrar uma fórmula para o termo geral .
Para resolver essas questões, vamos usar conceitos de cálculo integral para a primeira parte e de progressões aritméticas para a segunda parte.

Passo 2

Primeira Questão: Integral
Primeiro, vamos analisar a integral .
  • Conceito: Uma integral é convergente se ela tem um valor finito quando avaliamos os limites de integração; caso contrário, é divergente.
  • Método: Vamos verificar se a função integrando apresenta algum comportamento que possa fazer a integral divergir, como descontinuidades ou comportamentos infinitos nos limites de integração.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função nos limites de integração, ou seja, em e .
  1. Em :
    • , então temos .
    • Isso torna o denominador zero, fazendo com que tenda para o infinito.
  2. Em :
    • , então .
    • O denominador é , que é finito.
    • Portanto, não há problema no limite superior.
Então, o ponto problemático é , onde a função tende ao infinito. Precisamos verificar se a integral é convergente nesse ponto.

Passo 4

Para avaliar a convergência da integral próxima a integral0^1 1raiz[4]t , dt , vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão.
  • Substituição: Seja . Então, .
Quando , ; quando , .
A integral fica:
  • Conceito Aplicado: A integral de de 0 a 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 t^-1/4 , dt
  • Fórmula de Integração: integral t^-1/4 , dt = t^( -1/4 ) + 1( -1/4 ) + 1 + C = t^3/43/4 + C = 43 t^3/4 + C , onde .
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
43 t^3/4 g|0^1 = 43 (1^3/4 - 0^3/4) = 43 (1 - 0) = 43
Como obtivemos um valor finito, a integral é convergente.

Passo 7

Segunda Questão: Sequência
Temos a sequência e precisamos encontrar a fórmula para o termo geral .
  • Observação: A sequência aumenta de 3 em 3, ou seja, é uma progressão aritmética.
  • Fórmula da PA: , onde:
    • é o primeiro termo,
    • é a razão (diferença entre os termos).

Passo 8

Identificando os elementos da sequência:
  • an = 1 + (n - 1) cdot 3 = 1 + 3n - 3 = 3n - 2
  • Razão
Aplicando na fórmula:

Resposta

  1. A integral é convergente e seu valor é .
  2. A fórmula para o termo geral da sequência é .

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