Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x \sqrt[4]{\ln (x)}} d x
3a
Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue. ${1,4,7,10, ···}
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos duas questões:
Integral: Precisamos determinar se a integral é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos calculá-la.
Sequência: Temos a sequência e precisamos encontrar uma fórmula para o termo geral .
Para resolver essas questões, vamos usar conceitos de cálculo integral para a primeira parte e de progressões aritméticas para a segunda parte.
Passo 2
Primeira Questão: Integral
Primeiro, vamos analisar a integral .
Conceito: Uma integral é convergente se ela tem um valor finito quando avaliamos os limites de integração; caso contrário, é divergente.
Método: Vamos verificar se a função integrando apresenta algum comportamento que possa fazer a integral divergir, como descontinuidades ou comportamentos infinitos nos limites de integração.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função nos limites de integração, ou seja, em e .
Em :
, então temos .
Isso torna o denominador zero, fazendo com que tenda para o infinito.
Em :
, então .
O denominador é , que é finito.
Portanto, não há problema no limite superior.
Então, o ponto problemático é , onde a função tende ao infinito. Precisamos verificar se a integral é convergente nesse ponto.
Passo 4
Para avaliar a convergência da integral próxima a , vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão.
Substituição: Seja . Então, .
Quando , ; quando , .
A integral fica:
Conceito Aplicado: A integral de de 0 a 1.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Fórmula de Integração: , onde .
Aqui, , então:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Como obtivemos um valor finito, a integral é convergente.
Passo 7
Segunda Questão: Sequência
Temos a sequência e precisamos encontrar a fórmula para o termo geral .
Observação: A sequência aumenta de 3 em 3, ou seja, é uma progressão aritmética.