Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}} d x
Passo 1
Vamos resolver a integral . Essa questão faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente sobre convergência de integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar se a integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.
Passo 2
Primeiro, observamos que o limite inferior da integral é . Vamos analisar o comportamento da função próximo a esse ponto. Sabemos que , o que faz o denominador tender a zero, podendo causar uma descontinuidade na função.
Passo 3
Para entender melhor, vamos fazer uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é . Podemos reescrever a integral em termos de :
Passo 4
Agora, calculamos , que é . Assim, os limites de integração ficam de a .