Determine se cada integral abaixo é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos (x)}{\sqrt{\operatorname{sen}(x)}} d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Essa questão faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente sobre convergência de integrais impróprias. Para resolver, vamos analisar se a integral converge ou diverge e, se convergir, calcular seu valor.

Passo 2

Primeiro, observamos que o limite inferior da integral é . Vamos analisar o comportamento da função próximo a esse ponto. Sabemos que , o que faz o denominador tender a zero, podendo causar uma descontinuidade na função.

Passo 3

Para entender melhor, vamos fazer uma substituição. Seja . Então, a derivada de em relação a é . Podemos reescrever a integral em termos de :

Passo 4

Agora, calculamos , que é . Assim, os limites de integração ficam de a .

Passo 5

A integral simplificada é:
Sabemos que , desde que . Aqui, , então:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Simplificando:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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