Sejam dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Escreva cada relação abaixo por meio de um diagrama e determine quais das relações definem uma função f: A -> B. Em cada um dos casos em que f é uma função, determine a sua imagem e diga se f é injetora, sobrejetora ou bijetora. R = {(a, 3), (b, 2), (c, 1), (d, 4), (e, 5)}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois conjuntos, e , e uma relação . O objetivo é verificar se essa relação define uma função de A para B, desenhar o diagrama correspondente e, se for uma função, determinar sua imagem e dizer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função de A para B é uma relação onde cada elemento de A está relacionado a exatamente um elemento de B. Ou seja, para todo a in A, existe um único b in B tal que .

Passo 3

Vamos analisar a relação R dada:
Aqui, cada elemento de A ( a, b, c, d, e) está relacionado a um único elemento de B ( , , 1, , ), e nenhum elemento de A está relacionado a mais de um elemento de B. Portanto, R define uma função de A para B.

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem dessa função. A imagem é o conjunto de todos os elementos de B que são relacionados a pelo menos um elemento de A através da função. Olhando para R, vemos que os elementos de B na relação são 1, , , , e . Então, a imagem de f é:

Passo 5

Por fim, vamos verificar se a função f é injetora, sobrejetora ou bijetora:
  • Injetora (ou injetiva): Uma função é injetora se elementos distintos de A são relacionados a elementos distintos de B. Na nossa função, todos os pares têm elementos distintos em B (nenhum número se repete), então f é injetora.
  • Sobrejetora (ou sobrejetiva): Uma função é sobrejetora se todos os elementos de B são atingidos pela função, ou seja, cada elemento de B está na imagem de f. Como a imagem de f é , que é exatamente B, então f é sobrejetora.
  • Bijetora (ou bijetiva): Se uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela é bijetora. Como já vimos que f é injetora e sobrejetora, então f é bijetora.

Resposta

A relação R define uma função f: A -> B com imagem . Essa função é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.

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