Sejam dados os conjuntos e . Escreva cada relação abaixo por meio de um diagrama e determine quais das relações definem uma função . Em cada um dos casos em que é uma função, determine a sua imagem e diga se é injetora, sobrejetora ou bijetora. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois conjuntos, e , e uma relação . O objetivo é verificar se essa relação define uma função de para , desenhar o diagrama correspondente e, se for uma função, determinar sua imagem e dizer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função de para é uma relação onde cada elemento de está relacionado a exatamente um elemento de . Ou seja, para todo , existe um único tal que .

Passo 3

Vamos analisar a relação dada:
Aqui, cada elemento de ( , , , , ) está relacionado a um único elemento de ( , , , , ), e nenhum elemento de está relacionado a mais de um elemento de . Portanto, define uma função de para .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem dessa função. A imagem é o conjunto de todos os elementos de que são relacionados a pelo menos um elemento de através da função. Olhando para , vemos que os elementos de na relação são , , , , e . Então, a imagem de é:

Passo 5

Por fim, vamos verificar se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora:
  • Injetora (ou injetiva): Uma função é injetora se elementos distintos de são relacionados a elementos distintos de . Na nossa função, todos os pares têm elementos distintos em (nenhum número se repete), então é injetora.
  • Sobrejetora (ou sobrejetiva): Uma função é sobrejetora se todos os elementos de são atingidos pela função, ou seja, cada elemento de está na imagem de . Como a imagem de é , que é exatamente , então é sobrejetora.
  • Bijetora (ou bijetiva): Se uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela é bijetora. Como já vimos que é injetora e sobrejetora, então é bijetora.

Resposta

A relação define uma função com imagem . Essa função é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.

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