Sejam dados os conjuntos
e
. Escreva cada relação abaixo por meio de um diagrama e determine quais das relações definem uma função
. Em cada um dos casos em que
é uma função, determine a sua imagem e diga se
é injetora, sobrejetora ou bijetora.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois conjuntos,
e
, e uma relação
. O objetivo é verificar se essa relação define uma função de
para
, desenhar o diagrama correspondente e, se for uma função, determinar sua imagem e dizer se ela é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções, injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função de
para
é uma relação onde cada elemento de
está relacionado a exatamente um elemento de
. Ou seja, para todo
, existe um único
tal que
.
Passo 3
Vamos analisar a relação
dada:
Aqui, cada elemento de
(
,
,
,
,
) está relacionado a um único elemento de
(
,
,
,
,
), e nenhum elemento de
está relacionado a mais de um elemento de
. Portanto,
define uma função de
para
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem dessa função. A imagem é o conjunto de todos os elementos de
que são relacionados a pelo menos um elemento de
através da função. Olhando para
, vemos que os elementos de
na relação são
,
,
,
, e
. Então, a imagem de
é:
Passo 5
Por fim, vamos verificar se a função
é injetora, sobrejetora ou bijetora:
-
Injetora (ou injetiva): Uma função é injetora se elementos distintos de
são relacionados a elementos distintos de . Na nossa função, todos os pares têm elementos distintos em (nenhum número se repete), então é injetora. -
Sobrejetora (ou sobrejetiva): Uma função é sobrejetora se todos os elementos de
são atingidos pela função, ou seja, cada elemento de está na imagem de . Como a imagem de é , que é exatamente , então é sobrejetora. -
Bijetora (ou bijetiva): Se uma função é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela é bijetora. Como já vimos que
é injetora e sobrejetora, então é bijetora.
Resposta
A relação
define uma função
com imagem
. Essa função é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.
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Seja
a função dada pela relação
. Descreva
por meio de um diagrama, determinando o domínio de
, a imagem de
os conjuntos
.