Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. b) integral1^2 xx-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . O que a gente precisa fazer é verificar se essa integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender porque essa integral pode ser imprópria. Olhando para a função , vemos que quando , o denominador se torna zero, o que faz a função “explodir” para o infinito. Isso significa que temos uma descontinuidade vertical em , tornando a integral imprópria no limite inferior.

Passo 3

Para resolver, vamos reescrever a integral de forma que a gente possa lidar com essa descontinuidade. Vamos considerar um limite aproximando integral1^2 xx-1 , dx = lima to 1^+ integrala^2 xx-1 , dx de 1 pela direita (já que no intervalo de 1 a 2, é sempre maior que 1):

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral u = x - 1 Rightarrow du = dx . Para isso, vamos fazer uma substituição simples:
xx-1 = u + 1u = 1 + 1u
Então, podemos reescrever a função:

Passo 5

Integrando agora:
integral (1 + 1u) , du = integral 1 , du + integral 1u , du = u + ln|u| + C
Substituindo de volta integral xx-1 , dx = (x - 1) + ln|x - 1| + C :

Passo 6

Voltando à integral definida com os limites de integrala^2 xx-1 , dx = [ (2 - 1) + ln|2 - 1| ] - [ (a - 1) + ln|a - 1| ] até 2:
= [ 1 + ln1 ] - [ a - 1 + ln(a - 1) ]
= [ 1 + 0 ] - [ a - 1 + ln(a - 1) ]
= 1 - (a - 1) - ln(a - 1)

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite conforme lima to 1^+ [ 1 - (a - 1) - ln(a - 1) ] se aproxima de 1 pela direita:
1 - 0 - (-infty) = 1 + infty = infty
Quando , , e . Então:

Resposta

A integral é divergente.

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