Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . O que a gente precisa fazer é verificar se essa integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender porque essa integral pode ser imprópria. Olhando para a função , vemos que quando , o denominador se torna zero, o que faz a função “explodir” para o infinito. Isso significa que temos uma descontinuidade vertical em , tornando a integral imprópria no limite inferior.

Passo 3

Para resolver, vamos reescrever a integral de forma que a gente possa lidar com essa descontinuidade. Vamos considerar um limite aproximando de 1 pela direita (já que no intervalo de 1 a 2, é sempre maior que 1):

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . Para isso, vamos fazer uma substituição simples:
Então, podemos reescrever a função:

Passo 5

Integrando agora:
Substituindo de volta :

Passo 6

Voltando à integral definida com os limites de até 2:

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite conforme se aproxima de 1 pela direita:
Quando , , e . Então:

Resposta

A integral é divergente.

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. a)
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. e)
(ENADE - 2008) Em jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida do ponto , localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em , exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo. Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
a)
b)
c) 1 m
d) 2 m
e)
(UFPEL) Observando-se a variação da elongação A (acréscimo de comprimento em cm) de uma mola, em função de uma força F (em N ) aplicada sobre a mola, obtiveram-se os resultados que podem ser representados pela função linear a seguir. Nessas condições, se , pode-se afirmar que cada aumento de na força corresponde a um aumento na elongação de:
a)
b)
c)
d)
e)