Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. O que a gente precisa fazer é verificar se essa integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender porque essa integral pode ser imprópria. Olhando para a função
, vemos que quando
, o denominador se torna zero, o que faz a função “explodir” para o infinito. Isso significa que temos uma descontinuidade vertical em
, tornando a integral imprópria no limite inferior.
Passo 3
Para resolver, vamos reescrever a integral de forma que a gente possa lidar com essa descontinuidade. Vamos considerar um limite aproximando
de 1 pela direita (já que no intervalo de 1 a 2,
é sempre maior que 1):
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Para isso, vamos fazer uma substituição simples:
Então, podemos reescrever a função:
Passo 5
Integrando agora:
Substituindo de volta
:
Passo 6
Voltando à integral definida com os limites de
até 2:
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite conforme
se aproxima de 1 pela direita:
Quando
,
, e
. Então:
Resposta
A integral
é divergente.