(ENADE - 2008) Em jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida do ponto
, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em
, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura abaixo. Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
a)
b)
c) 1 m
d) 2 m
e)
a)
b)
c) 1 m
d) 2 m
e)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um jogador de futebol que vai cobrar uma falta diretamente para o gol. A bola segue uma trajetória parabólica começando do ponto
, que está a 12 metros da barreira. O ponto mais alto da trajetória é
, que fica exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão. O gol está a 8 metros da barreira. A pergunta é: Qual a altura da bola quando ela atinge o gol?
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente as propriedades das parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um sistema de coordenadas para facilitar. Vamos considerar o ponto
como a origem
. A barreira está a 12 metros de
, então o ponto diretamente abaixo de
será
. Como
está a 3 metros do chão, as coordenadas de
são
.
A trajetória da bola é uma parábola com vértice em
. A equação geral de uma parábola com vértice em
é:
No nosso caso,
e
, então a equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, vamos usar o ponto
que é
, já que a bola parte do chão.
Substituindo
e
na equação da parábola:
Então, a equação da parábola fica:
Passo 4
Agora, queremos saber a altura da bola quando ela atinge o gol. O gol está a 8 metros da barreira, então a distância total desde
até o gol é:
Logo, queremos encontrar o valor de
quando
.
Substituindo
na equação da parábola:
Resposta
A altura da bola ao atingir o gol é
metros.
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, pode-se afirmar que cada aumento de
na força corresponde a um aumento na elongação de:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Quais das funções a seguir são continuas? E por qué? Argumente.