Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. a) integral0^infty 11+x^3 d x

Passo 1

O exercício pede para a gente verificar se a integral é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de integrais impróprias e critérios de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral imprópria é convergente se o limite dela existe e é finito, caso contrário, é divergente.

Passo 3

A integral dada é . Vamos analisar o comportamento da função quando tende ao infinito. Observamos que, para valores grandes de , , então .

Passo 4

Sabemos que a integral converge se . No nosso caso, , que é maior que 1, então a integral converge.

Passo 5

Como se comporta como para grande e a integral de converge, podemos concluir que a integral também é convergente.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. Podemos substituir integral0^infty 11+x^3 dx = pi3 csc(pi3) = pi3 cdot 2raiz3 = 2pi3raiz3 , mas uma maneira mais simples é reconhecer que pode ser resolvida por frações parciais ou usando uma substituição trigonométrica, mas para simplificar, usamos uma tabela de integrais:

Resposta

A integral é convergente e seu valor é .

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