Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. a)
Passo 1
O exercício pede para a gente verificar se a integral
é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de integrais impróprias e critérios de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral imprópria é convergente se o limite dela existe e é finito, caso contrário, é divergente.
Passo 3
A integral dada é
. Vamos analisar o comportamento da função
quando
tende ao infinito. Observamos que, para valores grandes de
,
, então
.
Passo 4
Sabemos que a integral
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1, então a integral
converge.
Passo 5
Como
se comporta como
para
grande e a integral de
converge, podemos concluir que a integral
também é convergente.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral. Podemos substituir
, mas uma maneira mais simples é reconhecer que
pode ser resolvida por frações parciais ou usando uma substituição trigonométrica, mas para simplificar, usamos uma tabela de integrais:
Resposta
A integral é convergente e seu valor é
.